[Data Structure] Graph
Graph 그래프
- 노드와 간선으로 이루어진 노드간의 관계를 표현하는 자료구조
- G = (v,e)로 표현 (v = vertex set / e = edge set)
- 연결되어 있는 객체 간의 조직도를 표현할 수 있는 자료구조
- 지하철 노선도, 도심의 도로 등 실생활에서 다양한 예를 표현 가능
그래프 관련 용어
- 노드(node): 위치라는 개념 (그래프에선 정점(vertex)라고도 함)
- 간선(edge): 위치 간의 관계 노드를 연결하는 선 (link, branch 라고도 부름)
- 인접 정점(adjacent vertex): 간선에 의 해 직접 연결된 정점(노드)
- 정점의 차수(degree): 무방향 그래프에서 하나의 정점에 인접한 정점의 수
- 진입 차수(in-degree): 방향 그래프에서 외부에서 오는 간선의 수 (내차수 라고도 부름)
- 진출 차수(out-degree): 방향 그래프에서 외부로 향하는 간선의 수 (외차수 라고도 부름)
- 경로 길이(path length): 경로를 구성하는 데 사용된 간선의 수
- 단순 경로(simple path): 처음 정점과 끝 정점을 제외하고 중복된 정점이 없는 경로
- 사이클(cycle): 단순 경로의 시작 정점과 종료 정점이 동일한 경우
그래프의 특징
- 그래프는 객체와 이에 대한 관계를 나타내는 유연한 방식인 네트워크 모델임
- 하나의 노드에 2개 이상의 경로가 가능
- 노드들 사이에 무방향/방향에서 양방향 경로를 가질 수 있음
- self-loop 뿐 아니라 loop/circuit 모두 가능
- 루트 노드, 부모-자식 관계라는 개념이 없음 (트리는 특수한 형태의 그래프의 일종)
- 순회는 DFS나 BFS로 이루어짐
그래프의 종류
무방향 그래프 vs 방향 그래프
- 무방향 그래프 (Undirected Graph)
- 무방향 그래프의 노드는 간선을 통해서 양방향으로 갈 수 있음
- 노드가 연결 되어 있을 경우 (A,B) 식으로 표현 ((B,A)와 동일)
- 무방향 그래프에 존재하는 노드의 모든 차수의 합 = 그래프의 간선 수의 2배
- 방향 그래프(Dircted Graph)
- 간선에 방향성이 존재하는 그래프
- 노드가 A -> B로 가는 간선이 연결되어 있을 경우 <A,B> 식으로 표현 (<B,A>와는 상이)
- 방향 그래프에 있는 노드의 진입 차수 또는 진출 차수의 합 = 방향 그래프의 간선의 수(내차수 + 외차수)
연결 그래프 vs 비연결 그래프
- 연결 그래프 (Connected Graph)
- 무방향 그래프에 있는 모든 노드에 대해 항상 경로가 존재하는 경우
- 비연결 그래프(Disconnected Graph)
- 무방향 그래프에서 특정 노드에 대해 경로가 존재하지 않는 경우
- 무방향 그래프에서 특정 노드에 대해 경로가 존재하지 않는 경우
가중치 그래프
- 가중치 그래프 (Weighted Graph)
- 간선에 가중치 또는 비용이 할당된 그래프
- 네트워크 라고도 함 (도시-도시 연결, 통신망의 사용료, 회로 소자의 용량 등)
완전 그래프
- 완전 그래프 (Complete Graph)
- 그래프의 모든 노드가 서로 연결되어 있는 그래프
- N개의 정점을 가지는 무방향 완전 그래프 -> 간선의 개수 = (N(N-1))/2
- N개의 정점을 가지는 방향 완전 그래프 -> 간선의 개수 = N(N-1)
- 그래프의 모든 노드가 서로 연결되어 있는 그래프
사이클 vs 비순환 그래프
- 사이클 (Cycle)
- 단순 경로의 시작 노드와 종료 노드가 동일한 경우
- 비순환 그래프(Acyclic Graph)
- 사이클이 없는 그래프
그래프의 구현
인접 행렬 (Adjacency Matrix)
- NxN boolin 행렬으로 G[u][v]가 true면 u -> v로의 간선이 있다는 뜻
- 가중치 그래프에서는 boolin값이 아니라 가중치 값이 들어가 있을 수 있음
인접 리스트 (Adjacency List)
- 모든 노드를 인접리스트에 저장하고, 각각의 노드에 인접한 노드들을 리스트로 표현한 것
- 배열(혹은 해시 테이블)과 배열의 각 인덱스마다 존재하는 또 다른 리스트를 이용해서 인접 리스트를 표현
인접 행렬 vs 인접 리스트
- 시간 복잡도 비교
| 인접 행렬 | 인접 리스트 | |
| 메모리 | O(n^2) | O(n+m) |
| 간선 존재 여부 | O(1) | O(n) |
| u에 인접한 모든 노드 v 탐색 | O(n) | O(인접노드 수) |
| 새 간선 삽입 | O(1) | O(1) |
| 노드 삭제 | O(1) | O(n) |
- 간선 존재 여부
- 인접 행렬 : G[u][v] == 1 (가중 그래프일 경우 : G[u][v] > 0)
-> O(1) - 인접 리스트 : G[u].search(v)
-> O(n)
- 인접 행렬 : G[u][v] == 1 (가중 그래프일 경우 : G[u][v] > 0)
- 새 간선 삽입
- 인접 행렬 : G[u][v] = 1
-> O(1) - 인접 리스트 : G[u].push(v)
-> O(1)
- 인접 행렬 : G[u][v] = 1
- 노드 삭제
- 인접 행렬 : G[u][v] = 0
-> O(1) - 인접 리스트 : G[u].remove(x)
-> O(n)
- 인접 행렬 : G[u][v] = 0
그래프의 탐색
그래프의 일반적인 두가지 탐색방법
- 깊이 우선 탐색 (Depth-First Search)
- 너비 우선 탐색 (Breadth-First Search)
여기에 관련해서는 BFS / DFS 참고
참고
잔재미코딩
신찬수 교수님 유튜브
위키 백과
Heee’s Development Blog
janjanlog
